درس معادلات دیفرانسیل در رشته های مختلف فنی و مهندسی و علوم پایه در مقاطع کارشناسی پیوسته و ناپیوسته با ارزش ۳ یا ۲ واحد ارائه می شود. اهمیت معادلات دیفرانسیل در مدل بندی مسائل بر کسی پوشیده نیست و هر جا دستاورد عمیق علمی در آنالیز داده ها پدیدار می شود ردپایی از معادلات دیفرانسیل نیز معمولاً وجود دارد. در این صفحه عمده سرفصل درس «معادلات دیفرانسیل معمولی» در ویدئو ـ درس ها پوشش داده می شود. جزوه درس به همراه حل متنوع ترین تمرین ها را خواهید یافت و نمونه سوالات امتحانی با حل تشریحی آن ها در اختیار شما قرار می گیرد تا در زمانی که نمی توانید حضور فیزیکی در کلاس های دانشگاه داشته باشید از آنها استفاده کنید و کلاس را به خانه بیاورید. مدرس این مجموعه، دکتر علیرضا پوحسنی عضو هیات علمی دانشگاه آزاد اسلامی واحد پرند است که بیش از ۱۵ سال تجربه تدریس در دانشگاه های مختلف و فعالیت های پژوهشی و اجرایی را دارند. برای حمایت از مدرس محترم، کافی است صفحه آپارات ایشان را دنبال نمایید.
در اولین ویدئو ـ درسِ معادلات دیفرانسیل معمولی، ضمن معرفی این معادلات، مفاهیمی همچون جواب معادله دیفرانسیل، حل معادله دیفرانسیل، مرتبه و درجه یک معادله دیفرانسیل، جواب عمومی و خصوصی یک معادله دیفرانسل و … را شرح داده ایم.
در ادامه بحث آشنایی با معادلات دیفرانسیل در این ویدئو، ابتدا مرور کوتاهی بر مطالب جلسه قبل خواهیم داشت و سپس خواهیم دید که چگونه برای یک خانواده از منحنی ها می توان یک معادله دیفرانسیل نوشت و نیز برای خانواده منحنی های تک پارامتری می توان مسیرهای متعامد آن را نیز یافت. در آینده در این خصوص بیشتر صحبت خواهیم کرد. در انتهای ویدئو قضیه وجود و یکتایی جواب برای مسائل مقدار اولیه را ملاحظه می کنید.
در سومین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل به معادلات خطی مرتبه اول پرداخته ایم. شکل کلی این نوع معادلات بیان شده و در دو حالت همگن و ناهمگن نحوه حل معادله ها شرح داده شده است. ساختن جواب عمومی معادله غیر همگن به کمک جواب معادله همگن ایده بسیار جالبی است که در آینده نیز این روش را مجدداً خواهیم دید.
در این ویدئو ـ درس پس از ادامه بحث معادلات خطی مرتبه اول، بحث معادلات دیفرانسیل تفکیک پذیر را پیش کشیده ایم. فرم کلی و نحوه حل آن ها را ملاحظه می فرمایید و خواهید دید که چگونه تکنیک تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل می تواند در تبدیل معادله ها به معادلات قابل حل کارساز باشد. معادلات برنولی نمونه ای از اینها هستند که در این ویدئو به آن ها اشاره کرده ایم.
تکنیک تغییر متغیر همواره یک روش جذاب برای تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلاتی است که بتوانیم آن ها را براحتی حل نماییم. پیش تر این تکنیک را در تبدیل معادلات برنولی به معادلات خطی مرتبه اول دیده بودیم. در این ویدئو مشاهده می کنید که در معادلات همگن مرتبه اول نیز با اعمال تغییر متغیر می توان معادله را به یک معادله تفکیک پذیر تبدیل نمود. یک معادله مرتبه اول زمانی همگن است که بتوان آن را به فرم (dy/dx=g(x,y نوشت چنان که g یک تابع همگن از درجه صفر باشد.
در هفتمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل در ادامه مطالب جلسه قبل کمی بیشتر به عامل انتگرال ساز پرداخته ایم. مثال هایی از سه حالت معروف عامل انتگرال ساز (ع.ا.) حل شده و می بینید که چگونه یک معادله خطی مرتبه اول توسط یک ع.ا. به یک معادله کامل تبدیل می شود. در انتهای ویدئو در خصوص معادلات ریکاتی مرتبه اول نیز توضیحات مختصری ارائه گردیده است.
هشتمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل را کاملاً به «مسیرهای متعامد» اختصاص داده ایم. در این ویدئو ابتدا خانواده منحنی های تک پارامتری را معرفی نموده و نحوه به دست آمدن معادله دیفرانسیل چنین خانواده ای را می بینیم. خواهیم دید که گاهی منحنی های یک خانواده از الحاق جواب های دو معادله دیفرانسیل پدید می آیند. همچنین مسیرهای متعامد یک خانواده از منحنی های تک پارامتری معرفی شده و نحوه به دست آمدن آن ها، هم در دستگاه مختصات دکارتی و هم در دستگاه مختصات قطبی، توضیح داده شده است.
تذکر. در طول دقیقه ۲۸ ویدئو، بیضی هایی بررسی شده اند که به اشتباه کشیدگی بیضی ها در امتداد محور yها بیان شده در حالی که با رسم بیضی ها ملاحظه می شود که کشیدگی آن ها در امتداد محور x است. در واقع ضریب x عدد کوچکتری است. علی رغم این موضوع در حل مساله هیچ تغییری ایجاد نمی شود.
در نهمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل بحث معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم را آغاز می کنیم. ابتدا در دو حالت خاصِ معروف می بینیم که چگونه می توان معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم را به معادله مرتبه اول تبدیل نموده و حل کرد. سپس، مقدماتی را در خصوص جواب عمومی معادلات خطی مرتبه دوم بیان می کنیم. در بحث آینده این مقدمات ادامه خواهند یافت. جالب توجه این که با اندک تغییراتی می توان این مقدمه را به معادلات خطی مراتب بالاتر نیز تعمیم داد.
در دهمین درس از معادلات دیفرانسیل، بحث معادلات خطی مرتبه دوم را ادامه داده ایم.در این ویدئو نحوه یافتن جواب عمومی معادله همگن را خواهید دید. هرگاه یک جواب خصوصی از معادله همگن معلوم باشد به کمک فرمول آبل می توان جواب دیگری برای معادله همگن یافت چنان که مستقل از جواب اول باشد. تعیین یک جواب خصوصی برای معادلات همگن در حالت کلی کار راحتی نیست اما چنان که خواهیم دید اگر مجموع ضرایب معادله همگن برابر با صفر شود یا ضرایب معادله همگن اعداد ثابتی باشند همیشه می توان جواب عمومی معادله همگن را یافت.
در یازدهمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل به معادله غیرهمگن مرتبه دو با ضرایب ثابت پرداخته ایم. در ویدئوی قبل دیدیم که جواب عمومی معادله همگن با ضرایب ثابت براحتی به دست می آید. در روش ضرایب نامعین تابع (f(x در معادله (y”+py’+qy=f(x در تعیین جواب خصوصی برای این معادله نقش مهمی ایفا می کند. نحوه تعیین جواب خصوصی در وضعیتی این تابع، تابع نمایی یا چندجمله ای یا حاصل ضربی از این دو باشد را در این ویدئو خواهید دید. در ویدئوهای بعدی حالت های دیگری از تابع f و نقش آن در تعیین جواب خصوصی را خواهیم دید.
در ادامه مباحث ویدئوی قبل در خصوص یافتن جواب خصوصی برای معادله غیرهمگن با ضرایب ثابت (y”+py’+qy=f(x در این ویدئو ـ درس حالت های بیشتری از تابع (f(x و نقش آن در تعیین جواب خصوصی را مطالعه می کنیم. به وضوح محدودیت های روش ضرایب نامعین را خواهید دید. هم از نظر انواع توابعی که می توانند به جای (f(x قرار گیرند و هم از نظر طولانی شدن محاسبات لازم برای یافتن مقادیر ضرایب نامعین. همچنین در این درس اصل بر هم نهی جواب ها را خواهید دید که در یافتن جواب خصوصی برای تعداد بیشتری از معادلات غیر همگن موثر است. در انتها تعمیم روش حل معادلات همگن مرتبه دو با ضرایب ثابت به معادلات همگن مراتب بالاتر را خواهیم دید.
در روش ضرایب نامعین برای تعیین جواب خصوصی معادلات خطی غیرهمگن مرتبه دوم دیدیم که محدودیت هایی وجود دارد. از جمله این محدودیت ها محدود بودن شکل تابع (f(x ظاهر شده در سمت راست معادله غیرهمگن، ثابت بودن ضرایب معادله همگن و نیز خسته کننده بودن محاسبات ضرایب نامعین است. در این ویدئو ـ درس با تکنیک « تغییر پارامترها » برای تعیین جواب خصوصی معادله غیرهمگن آشنا می شویم که هرچند محدودیت های روش ضرایب نامعین را ندارد با این حال خودش نیز روش مستقل و کاملی نیست. شکل ارائه جواب خصوصی در این روش بر اساس جواب های خصوصی معادله همگن نظیر است.
در چهاردهمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل به آخرین بخش از مبحث معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم رسیده ایم. در این ویدئو خواهید دید که چگونه عملگر مشتق (D) در برخی از معادلات دیفرانسیل غیرهمگن با ضرایب ثابت می تواند یک جواب خصوصی ارائه نماید. البته چنان که در متن ویدئو هم خواهید دید، این تکنیک نیز محدودیت های زیادی دارد و لذا موارد استفاده از آن نیز محدود هستند. در اواخر ویدئو، جمعبندی از مطالب این فصل را مشاهده می نمایید.
تبدیل لاپلاس یکی از جذاب ترین توابع در ریاضیات است که به کمک آن به مسائل زیادی می توان پاسخ داد. حل معادلات دیفرانسیل، حل دستگاه های معادلات و حل معادلات انتگرالی از انواع کاربردهای مهم این تبدیل است. در پانزدهمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل با این تبدیل آشنا شده و مثال های متنوعی را می بینیم. با اشاره به چند خاصیت ساده خواهید دید که تبدیل لاپلاس توابع متنوعی قابل محاسبه هستند. در پایان ویدئو جدول مقدماتی از تبدیل لاپلاس انواع توابع خواهیم ساخت که در ویدئوهای بعدی کامل تر هم می شود. فایل متنی این جدول را می توانید از طریق کانال تلگرام متصل به این صفحه دریافت کنید (@MathBridge).
در ادامه بحث ویدئوی قبلی، در ابتدا کمی بیشتر با تبدیلات لاپلاس آشنا می شویم و خواهیم دید که با داشتن تبدیل لاپلاس یک تابع، می توان تبدیل لاپلاس مشتق و انتگرال آن تابع را نیز به دست آورد. در مورد وارون پذیری تبدیل لاپلاس صحبت می کنیم و خواهیم دید که چگونه تبدیلات لاپلاس در حل مسائل مقدار اولیه به کار می آیند. مثال های بسیار متنوعی در متن درس حل شده است.
در هفدهمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل ابتدا مطالب بیان شده در خصوص تبدیل لاپلاس را مرور نمودایم. سپس با بیان سومین قضیه از قضایای چهارگانه تبدیلات لاپلاس، دومین فرمول انتقالی را نتیجه گرفته ایم. مثالهای متنوعی که در متن درس مشاهده می شود کاربردهای این فرمول انتقالی را در یافتن تبدیل لاپلاس، وارون تبدیل لاپلاس و در نهایت حل مسائل مقدار اولیه نشان می دهد.
در ادامه بحث تبدیل لاپلاس و کاربرد آن در حل معادلات دیفرانسیل، در این ویدئو ـ درس ابتدا قضیه ای در خصوص انتگرال از تبدیل لاپلاس توابع و کاربرد آن در محاسبه تبدیل لاپلاس و نیز محاسبه انتگرال ها خواهیم دید. سپس با معرفی تلفیق (پیچش) توابع و نحوه محاسبه تبدیل لاپلاس آن به سراغ معادلات انتگرالی ولترا می رویم. مجموعه این مطالب و مثال های بسیار متنوعی که در این خصوص حل می شود دامنه کاربرد تبدیل لاپلاس در حل مسائل ریاضی را نشان می دهد که در ویدئوهای بعدی نیز ادامه خواهد داشت.
در نوزدهمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل بحث کاربرد تبدیلات لاپلاس در حل مسائل مقدار اولیه را ادامه داده ایم. به عنوان یادآوری از جلسه قبل ابتدا یک معادله دیفرانسیل ـ انتگرالی حل کرده ایم. سپس در مثالی می بینیم که از تبدیلات لاپلاس برای حل دستگاه های معادلات دیفرانسیل نیز می توان بهره برد. در انتها تابع پله ای واحد (هوی ساید) را معرفی کرده ایم تا نشان دهیم توسط این تابع می توان تبدیل لاپلاس توابع چندضابطه ای را نیز محاسبه نمود. در ویدئو ـ درس آینده خواهید دید که این موضوع در حل مسائل مقدار اولیه ای که در آن ها تابع چند ضابطه ای به کار رفته باشد بسیار کارآمد است، مطلبی که در هیچ یک از نوزده ویدئو ـ درس قبلی به آن نپرداخته بودیم.
در بیستمین ویدئو ـ درس معادلات دیفرانسیل بحث تبدیل لاپلاس تابع پله ای واحد (هوی ساید) و کاربرد آن در حل معادلات دیفرانسیل را می بینیم. مثال های متنوعی برای محاسبه تبدیل لاپلاس و وارون آن در توابع چند ضابطه ای به کمک مطالب بیان شده ویدئوی قبلی ملاحظه می شوند. در انتهای ویدئو در خصوص تابع های متناوب و نحوه محاسبه تبدیل لاپلاس آن ها مطالبی ارائه شده و مثالی نیز حل شده است. در پایان ویدئو نیز تابع دلتای دیراک (ضربه) معرفی و خواصی از آن لیست شده است.
جزوه کامل درس معادلات دیفرانسیل (معمولی).
ویدئو ـ درس های معادلات دیفرانسیل بر اساس این جزوه که بر اساس محتوای منبع درس (در نخستین ویدئو معرفی شده است) تهیه شده است تنظیم یافته اند. جزوه ای به زبان ساده همراه با مثال های بسیار متنوع برای دانشجویان رشنه های فنی و مهندسی و علوم پایه که تقریباً تمام سرفصل این درس را پوشش می دهد. همچنین با ارائه دیدگاه های جالب در شکل ارائه مطالب برای مدرسین این درس نیز بسیار مفید و جذاب خواهد بود. برای دریافت جزوه، روی تصویر مقابل کلیک نمایید یا از لینک کمکی زیر استفاده کنید.
سوالات پایانترم درس معادلات دیفرانسیل رشته ها فنی و مهندسی به همراه حل تشریحی آن ها.
نیم سال دوم سال تحصیلی ۰۰-۹۹
دانشگاه آزاد اسلامی
واحد پرند
سوالات پایانترم درس معادلات دیفرانسیل رشته ها فنی و مهندسی به همراه حل تشریحی آن ها.
نیم سال تابستان ۱۴۰۰
دانشگاه آزاد اسلامی
واحد پرند
تماس با ما: واتس آپ ۰۹۳۵۰۶۸۳۵۹۷ تلگرام: MathBridge@ پست الکترونیک: info@newrasha.ir قوانین سایت ارتباط با ما