ریاضی مهندسی

در میان دروس ریاضی دوره لیسانس، بویژه برای رشته های فنی و مهندسی، درس ریاضی مهندسی یک درس بسیار خاص است، زیرا تقریباً عمیق ترین مطالبی که دانشجویان در این دوره ملاحظه می کنند در مباحث این درس است. سریها و انتگرال های فوریه و نیز کاربردهای متنوع آن ها، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و نیز حسابان توابع مختلط به صورتی کاملاً فشرده در این درس ارائه می شوند و کاربردهایی از آن ها مورد بحث قرار می گیرد.

در این صفحه ویدئو – درس های ریاضی مهندسی به همراه فایل جزوه این درس در اختیار شما عزیزان قرار می گیرد. لطفاً جهت حمایت از مدرس محترم کانال آپارات ایشان را دنبال نموده و از آگهی های سایت بازدید نمایید.

این ویدئو، اولین درس برای شروع مبحث سری ها فوریه در ریاضی مهندسی محسوب می شود. ابتدا مباحثی از بردارها را مرور می کنیم و مفهوم پایه در یک فضا از بردارها را شرح می دهیم. مفهوم بعد یک فضا در جبرخطی بر مبنای تعداد اعضای پایه ساخته می شود. سوالی که مطرح می کنیم این است که آیا فضایی برداری با بعد بینهایت وجود دارد؟ خواهیم دید که مجموعه توابع تقریباً پیوسته بر یک بازه [a,b] چنین فضایی است.

۲. در جلسه قبل در مورد این که توابع تقریباً پیوسته بر یک بازه، می توانند شخصیت برداری داشته باشند صحبت کردیم. در این ویدیو با تعریف ضرب داخلی توابع، دسته ای از توابع پیوسته بر یک بازه متقارن را معرفی می کنیم که می توانند نقش «پایه متعامد یکه» برای فضای توابع تقریباً پیوسته را بازی کنند.

۳. استفاده از سری های فوریه یک روش کاملاً مفید برای تقریب زدن توابع تقریباً پیوسته بر یک بازه به کمک توابع پیوسته است که کاربرد زیادی در شاخه های مختلف مهندسی دارد. در این ویدئو، سری فوریه یک تابع تقریباً پیوسته بر یک بازه [a,b] ارائه شده و فرمول های محاسبه ضرایب سری فوریه به دست می آیند. در انتها یک مثال حل خواهد شد و از آن برای تقریب زدن عدد معروف پی استفاده می شود.

۴. در ادامه مطالب ویدئو های قبلی، تعریف مقبول تری از سری فوریه و مثال هایی از آن ارائه شده است.

۵. سری های فوریه از مهمترین مباحث ریاضیات مهندسی هستند که چگونگی تبدیل توابع تقریباً پیوسته متناوب به توابع موجی را تشریح می کنند. در جلسات قبل دیدیم که هرگاه f(x)=y تابعی زوج یا فرد باشد محاسبه ضرایب سری فوریه راحت تر خواهد بود. در این ویدئو توابعی را که بر یک بازه [۰, l] تعریف شده و پیوسته باشند به توابعی متناوب و زوج یا فرد توسیع داده و با نوشتن بسط های نیم دامنه ای، سری های فوریه سینوسی یا کسینوسی آن ها را به دست می آوریم

۶. در نخستین درس از مبحث اعداد مختلط در درس ریاضی مهندسی، دانسته های قبلی مان در خصوص اعداد مختلط را مرور کرده ایم. اعمال جبری روی اعداد مختلط، نمایش قطبی اعداد مختلط، فرمول اویلر، فرمول دموآور و ریشه های اعداد مختلط یادآوری و مورد بحث قرار گرفته اند.

۷. در این ویدئو کوتاه، توابع مختلط در دو فرم نمایش مختلط و نمایش دکارتی معرفی می شوند و در مورد دامنه و برد آنها صحبت می شود. این معرفی نقش مهمی در دیدگاه ما در جلسات آینده برای بررسی توابع مختلط دارد.

۸. در این درس، مفاهیم حد، پیوستگی و مشتق توابع مختلط به اختصار بیان شده و مثال هایی نیز حل می شود. مطالب این درس مقدمه ای برای پرداختن بیشتر به مشتق توابع مختلط فراهم می کند.

۹. در این درس، با معادلات معروف کشی ریمان که شرط کافی برای مشتق پذیری یک تابع مختلط را بیان می کنند آشنا خواهیم شد. فرم دکارتی و قطبی این معادلات بیان خواهد شد و سپس مثال هایی در خصوص مشتق پذیری و محاسبه مشتق توابع مختلط حل می شوند.

۱۰. در این ویدئو، ضمن معرفی مفاهیم تابع تحلیلی، تابع همساز و نفاط تکین یک تابع مختلط، رابطه بین توابع تحلیلی و همساز بررسی می شود. مثال های متنوعی نیز حل شده اند.

۱۱. برخی از توابع حقیقی به دلایل مختلف صاحب اسم و رسم هستند، مانند توابع چندجمله ای، کسری، رادیکالی، نمایی و لگاریتمی و … . تعمیم این توابع به مجموعه اعداد مختلط ضمن حفظ ویژگی های اساسی، اغلب خواص جالبی در مجموعه اعداد مختلط نشان می دهد که باعث ایجاد تفاوت های اساسی است. مثلاً تابع نمایی مختلط متناوب است حال آنکه تابع نمایی حقیقی چنین نیست. در این ویدئو توابع نمایی و مثلثاتی مختلط را معرفی و ویژگی های آن ها را مطالعه می کنیم.

۱۲. ابتدا بحث کوچکی در مورد مشتق توابع مثلثاتی مختلط را ملاحظه نموده و سپس در ادامه شناسایی توابع مختلط مقدماتی، در این ویدئو – درس اطلاعات مقدماتی در خصوص تابع لگاریتم طبیعی مختلط را به دست خواهیم آورد. مثالهای متنوعی حل می شوند.

۱۳. بخش چالش برانگیز و جذابی از توابع مختلط، بررسی رفتار توابع مختلط است. هر چند این کار در همه توابع مختلط در حالت کلی ساده یا امکان پذیر نیست اما در مورد برخی توابع مقدماتی خیلی هم دشوار نیست. از جمله در این ویدئو – درس تبدیل نواحی توسط توابع f(z)=az+b و f(z)=1/z بررسی شده و مثال های متنوعی نیز حل شده است. در انتهای ویدئو، توابع همدیس ( conformal ) معرفی شده است.

۱۴. تشابه زیادی بین ساختار انتگرال خط میدان های برداری و انتگرال خط توابع مختلط وجود دارد با این تفاوت اساسی که حاصل انتگرال خط میدان های برداری یک عدد حقیقی اما حاصل انتگرال خط توابع مختلط یک عدد مختلط است. در این درس تعمیم مفهوم انتگرال خط به توابع مختلط را خواهید دید.

۱۵. در ادامه انتگرال خط توابع مختلط در این درس در خصوص انتگرال خط توابع مختلط روی قوس های ساده بسته صحبت می کنیم و قضیه معروف کشی – گورسا (Couchy – Goursat Theorem) در خصوص انتگرال تابع مختلط تحلیلی روی چنین خمی بیان خواهد شد. در ادامه فرمول انتگرال کشی و تعمیم آن برای حل انتگرال خط توابع مختلط روی قوس های بسته بیان شده و مثال هایی نیز حل می شوند.

۱۶. در این درس، با دنباله ها و سری های توابع مختلط آشنا می شویم. شرایط همگرایی آنها و چند مثال متنوع در این خصوص حل می شوند. همچنین سری های توانی معرفی شده و در خصوص سری های تیلور و مکلورن توابع مباحثی ارائه می شود.

۱۷. سری های لوران در کنار سری های تیلور، مکلورن و فوریه از مهمترین ابزار محاسبات ریاضی توابع هستند. سری های تیلور و مکلورن توابع مختلط که در ویدئو قبلی معرفی شد زمینه خوبی برای ارائه یک سری توانی برای یک تابع مختلط در یک همسایگی از یک نقطه تکین تنها فراهم می کند. مانده های توابع مختلط که توسط سری های لوران مشخص می شوند ابزار مهمی در محاسبه انتگرال توابع مختلط هستند.

۱۸. کاربرد سری های لوران در حل انتکرال های توابع مختلط را قبل تر دیدیم. در این جلسه ضمن تعمیم این موضوع، قضیه مانده ها در خصوص استفاده از مانده های یک تابع برای محاسبه انتگرال آن روی مرز بسته ای چون C بیان می گردد. در خاتمه خواهیم دید که چگونه تغییر مختلط می تواند در حل انتگرال های توابع حقیقی نیز موثر واقع شود.

سوالات و حل تشریحی آزمون

نیم سال اول ۹۶-۹۷

دانشگاه آزاد اسلامی

واحد علوم و تحقیقات تهران

سوالات و حل تشریحی آزمون